Содержательно-методическая линия «Задачи с параметрами» в курсе математики профильной школы

152613, Ярославская область, г. Углич, ул. Северная, д. 4

Данный опыт представляет собой описание опыта работы автора по теме «Задачи с параметрами», проходящей содержательно-методической линией через курс алгебры и математического анализа в рамках действующей программы для школ (классов) с углубленным изучением математики.

1. Выделяются основные типы задач с параметрами и описываются методы их решения.
2. Предлагается последовательность изучения этих типов задач в рамках программы для школ (классов) с углубленным изучением математики (данная последовательность может быть реализована и в профильных классах).

1. Простейшие задачи с параметрами, решаемые аналитически.
2. Квадратичная функция в задачах с параметрами. Условия расположения нулей квадратичной функции относительно заданных точек.
3. Задачи с параметрами, решаемые графически на координатной плоскости с применением одного из следующих приемов: параллельного переноса, вращения прямой, растяжения и сжатия, гомотетии.
4. Координатно-параметрический способ решения задач с параметрами.
5. Задачи с параметрами, решаемые методами поиска необходимых условий.

1. Встраивание предлагаемых типов задач в действующую программу для школ (классов) с углубленным изучением математики осуществляется следующим образом:
   • первый тип задач с параметрами (простейшие уравнения, неравенства, системы, решаемы аналитически) изучается в рамках соответствующих тем. Линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения и неравенства, системы линейных уравнений и неравенств – в теме «Многочлены». Простейшие и сводящиеся к простейшим тригонометрические уравнения и неравенства – в теме «Тригонометрические функции» и т.п.
   • второй тип задач с параметрами (задачи на свойства квадратичной функции) изучается в два этапа. Первый раз – в рамках темы «Многочлены» 10 класса повторяются свойства квадратичной функции, рассматриваются условия расположения нулей квадратичной функции относительно заданных точек. На втором этапе (в конце 11 класса) рассматриваются трансцендентные уравнения и неравенства.
   • третий тип задач с параметрами (задачи, решаемые графически на плоскости с помощью параллельного переноса, поворота, растяжения и сжатия) начинают изучаться в 10 классе в рамках темы «Графики функций» после изучения преобразований графиков, что закономерно. Применение преобразований графиков функций к решению задач с параметрами знакомит учащихся с очень мощным методом решения таких задач, в процессе применения данного подхода они лучше усваивают тему «Графики функций», отчетливее видят связь алгебры и геометрии. В процессе изучения темы «Исследование функций и построение их графиков» каждую задачу на построение графика функции можно дополнять вопросами на исследование уравнения (неравенства) вида, что не займет много времени, но будет способствовать более глубокому усвоению свойств функций. В 11 классе данный тип задач с параметрами изучается сразу после темы «Дифференцирование показательной и логарифмической функций».
   • четвертый тип задач (координатно-параметрический способ решения задач с параметрами) знакомит учащихся с другим подходом – параметр, как переменная равноправная с неизвестной на плоскости. При решении неравенств учащиеся знакомятся с обобщением метода интервалов – методом областей. В 10 классе данный подход применяется для решения рациональных уравнений, неравенств и систем, в 11 классе к остальным их видам. В 11 классе при решении логарифмических и показательных неравенств с параметрами полезно познакомить учащихся с декомпозиционным подходом.
   • пятый тип задач, с точки зрения автора, относится к повышенному уровню сложности и на уроках может рассматриваться лишь при соответствующем подборе учащихся. Хотя с применением свойства четности функции к исследованию уравнений, в которых выдвигается требование единственности решения можно познакомить всех учащихся.
2. В предложенной схеме типовые задачи распределяются по темам не по внешним признакам (рациональные, иррациональные, тригонометрические и др. уравнения и неравенства), а в зависимости от методов их решения, что, на взгляд автора опыта, более эффективно.
   В результате встраивания предложенной программы в действующую программу по математике, тема «Задачи с параметрами» проходит через весь курс алгебра и математического анализа единой содержательной линией.